L’énigme du Carré magique
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de Henri MARTIN

Renaissance Traditionnelle N°52 - Juillet/Octobre 1982. p 292

 

Les carrés magiques de nombre

Tout d’abord, et afin de bien comprendre ce qui va suivre, il faut savoir que dans la définition des carrés magiques, on nomme "Ordre", le nombre d’unités qui forment les côtés du carré. Par exemple, le carré représenté en figure 1 est dit d’ordre 3 parce qu’il se compose de trois chiffres par côté. La seconde désignation est mathématique, pour les formes numériques, un carré magique d’ordre n est composé de N² nombres entiers généralement distincts, présentés dans un tableau carré. Ces nombres sont disposés de manière à ce que leurs sommes sur chaque rangée, sur chaque colonne et sur chaque grande diagonale soient égales.

Dans tous les cas, la somme obtenue est appelée constante magique ou somme magique. Le premier véritable carré magique numérique est d’ordre 3. Celui représenté ici est l’une de ses variantes possibles.

 

Figure 1 - Carré d'ordre 3

Les carrés magiques de chiffres ont une histoire très ancienne. Présents dans de nombreuses civilisations d’Asie et d’Europe, mais aussi dans les pays de civilisation arabe, ils seraient originaires de Chine. Les carrés magiques sont des objets mathématiques souvent présentés avec une connotation religieuse ou talismanique. Telle est la démarche adoptée par exemple, par Cornélius Agrippa (1486-1535) qui proposait d’utiliser les carrés magiques pour trouver des noms divins ou, parfois mêlés à des lettres hébraïques ou des symboles alchimiques, comme "daemons"1, ou comme talismans protecteurs.

"Les sciences de la Mathématique sont si nécessaires à la Magie, et ont tant de liaison avec elle, que ceux qui se mêlent de l’une sans employer l’autre ne font rien qui vaille. Ils perdent leur temps et ne viennent à bout de leur dessein. Tout ce qui existe et tout ce qui se fait ici-bas par l’opération des forces naturelles est conduit avec nombres, mesures et harmonies." ("Philosophie occulte" d’Agrippa).

L’une des plus célèbres transcriptions de cette représentation culturelle qui rendait la magie synonyme de beauté et d’harmonie des nombres, de leurs combinaisons bien organisées, est offerte par la célèbre gravure d’Albrecht Dürer (1471-1538), "Melancholia" (1514) dans laquelle apparaît, parmi de très nombreux symboles, un carré magique d’ordre 4. Cette représentation illustre l’une des caractéristiques des carrés magiques : chaque chiffre chaque élément ne prend son sens ésotérique que mis en relation, en harmonie avec les autres.

Il existe de nombreux écrits quant aux pratiques magiques, alchimiques ou religieuses attachés aux carrés magiques de chiffres. Les carrés magiques peuvent être d’ordre pair ou d’ordre impair. Les carrés d’ordre impair sont, mathématiquement, les plus faciles à établir. Méthode : Placer le 1 dans la case qui se trouve sous la case du milieu du carré. Décaler d'une case vers la droite puis d'une case vers le bas pour le 2, et ainsi de suite pour le 3, puis le 4, etc. Si une case est déjà occupée, il faut revenir au nombre précédent, ne pas décaler à droite, mais descendre de 2 cases à la place. Précision : quand on arrive au bord du carré, on continue du côté opposé (en haut ou à gauche). Source : Wikipédia, article "les carrés magiques. Mathématique".

Les mathématiques attachées aux carrés magiques sont complexes et aboutissent à de nombreuses variantes de carrés magiques. Par exemple, si les petites diagonales le sont aussi, ou si l’on peut déterminer d’une même constante de différentes manières géométriques, le carré est alors appelé "carré diabolique", dans ce cas, la première forme possible est d’ordre 4, comme c’est le cas ici.

Carré diabolique d'ordre 4

On peut aussi trouver des carrés impairement pairs :

- Carré d’un nombre entier divisible une fois et seulement par 2 : par exemple, 6 ou 10.

- Carré pairement pair : nombre entier divisible au moins une fois par le nombre 4. Par exemple, 8, 12, 16.

Pour l’anecdote, le plus grand carré magique réalisé à partir d’un programme informatique date de 1994, et il s’agit d’un carré de 3001 x 3001 (Louis Caya, Sainte Foy, Canada) ; alors que le plus grand carré magique réalisé à la main est de 1111 x 1111, en 1990 par Norbert Behnke (Krefeld, Allemagne)

Le carré magique du cavalier

Pour en finir avec l’aspect mathématique des carrés magiques, parlons un peu du "carré magique du cavalier" parfois appelé "cavalier d’Euler" du nom de Leonard Euler, mathématicien du XVIIIème siècle qui est le premier à avoir étudié en occident, un problème déjà connu des arabes depuis au moins le IXème siècle. . Il s’agit, dans un jeu d’échec, de déterminer une suite de coups permettant à un cavalier (utilisant sa marche spécifique) de visiter chacune des 64 cases de l'échiquier en ne passant jamais deux fois par la même. La somme des nombres répartis sur une même colonne ou une même rangée devra toujours donner 260. D'après les mathématiciens, il existerait plus de 30 millions d'itinéraires possibles répondant ces critères.

Exemple2 :

Figure 2 - le "Cavalier d’Euler"

 

Écrit par C.P.